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<!DOCTYPE html>

<title>Elastizitätstensor</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Elastizitätstensor</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Der <b>Elastizitätstensor</b> bildet in der <a href="Hookesches_Gesetz" title="Hookesches Gesetz">linearen Elastizität</a> die Verzerrungen auf die Spannungen ab. <a href="Anisotropie" title="Anisotropie">Anisotropes</a> Materialverhalten kann durch ihn abgebildet werden. Das Teilgebiet der <a href="Physik" title="Physik">Physik</a>, das sich mit <a href="Elastizit%C3%A4t_(Physik)" title="Elastizität (Physik)">elastischen</a> Verformungen befasst, wird <a href="Elastizit%C3%A4tstheorie" title="Elastizitätstheorie">Elastizitätstheorie</a> genannt. Sie ist Teil der <a href="Kontinuumsmechanik" title="Kontinuumsmechanik">Kontinuumsmechanik</a> und dadurch gekennzeichnet, dass elastische Deformationen reversibel sind: nach Wegfallen der äußeren Kraft kehrt das Material in seine Ausgangsform zurück. Das ist nicht mehr der Fall, wenn es zu Brüchen kommt oder zu plastischem Fließen – letzterer Fall wird durch die <a href="Plastizit%C3%A4tstheorie" title="Plastizitätstheorie">Plastizitätstheorie</a> behandelt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Elastizitätstensor"><span id="Elastizit.C3.A4tstensor"></span>Elastizitätstensor</h2></div>

<p>Mechanische Spannungen werden zur Berechnung als Kraftansatz an einer (Schnitt-)Fläche eines Körpers betrachtet. Eine Kraft wird dabei zur Berechnung in die Komponente Normalspannungen (<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }" loading="lazy"></span>), senkrecht auf der gewählten Ebene, und Schubspannungen (<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }" loading="lazy"></span>), in der Ebene, geteilt. Diese verschiedenen Spannungen werden im <a href="Spannungstensor" title="Spannungstensor">Spannungstensor</a> zusammengefasst:

</p>

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</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {\overline {\sigma }}}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\tau _{12}&\tau _{13}\\\tau _{21}&\sigma _{22}&\tau _{23}\\\tau _{31}&\tau _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1adf641f85eaab25e5f5bbe1d4366c3ded7afbcd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:22.768ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle {\overline {\overline {\sigma }}}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\tau _{12}&\tau _{13}\\\tau _{21}&\sigma _{22}&\tau _{23}\\\tau _{31}&\tau _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Entsprechend werden die Deformationen im <a href="Verzerrungstensor" title="Verzerrungstensor">Verzerrungstensor</a> zusammengefasst:

</p>

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</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {\overline {\varepsilon }}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\gamma _{12}/2&\gamma _{13}/2\\\gamma _{12}/2&\varepsilon _{22}&\gamma _{23}/2\\\gamma _{13}/2&\gamma _{23}/2&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9437ad51adc549ca0d6ded1eb0cacb2a7e6c8334.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.338ex; width:49.6ex; height:9.843ex;" alt="{\displaystyle {\overline {\overline {\varepsilon }}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\gamma _{12}/2&\gamma _{13}/2\\\gamma _{12}/2&\varepsilon _{22}&\gamma _{23}/2\\\gamma _{13}/2&\gamma _{23}/2&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>An einem einfachen Radiergummi kann man erkennen, dass ein Ziehen entlang der x-Achse nicht nur eine Deformation in x-Richtung verursacht, sondern den Radiergummi auch seitlich dünner werden lässt (<a href="Querkontraktion" title="Querkontraktion">Querkontraktion</a>), d. h., <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{11}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{11}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1d9010ce404b2240a94a8b55e1f8f90f5f6c6080.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.204ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{11}}" loading="lazy"></span> hängt auch linear mit den seitlichen Verschiebungen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{22}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{22}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a694c8eab3727e40ce7a12ec33211183b3d0f9b3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.96ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{22}}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{33}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{33}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a69dfb7971a8d4e1771518af4a074757f78dc3fb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.96ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{33}}" loading="lazy"></span> zusammen.

</p><p>Im Folgenden seien <i>kleine Auslenkungen</i> angenommen. Dadurch kann das <a href="Hookesches_Gesetz#Verallgemeinertes_hookesches_Gesetz" title="Hookesches Gesetz">verallgemeinerte Hookesche Gesetz</a> herangezogen werden, das einen linearen Zusammenhang zwischen Spannung und Verzerrung herstellt

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma =C\varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4d68e1430b43f71f5c462aff3c03933d153c9af3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.278ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \sigma =C\varepsilon }" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Hierbei ist der <b>Elastizitätstensor</b> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

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</mrow>

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<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{ij}=\sum _{k=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}C_{ijkl}\varepsilon _{kl}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de508ceef7903e5f361bc4dbe793394cdc7e5211.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:20.535ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{ij}=\sum _{k=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}C_{ijkl}\varepsilon _{kl}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>bzw. mit der <a href="Einsteinsche_Summenkonvention" title="Einsteinsche Summenkonvention">Einsteinschen Summenkonvention</a>

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{ij}=C_{ijkl}\varepsilon _{kl}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3dd7de70a92be3a8530407fb3e07cb51a19a8cf8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.051ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{ij}=C_{ijkl}\varepsilon _{kl}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Zur Vereinfachung der Darstellung lassen sich unter gewissen Voraussetzungen <a href="Symmetrische_Matrix" title="Symmetrische Matrix">Symmetrien</a> der beteiligten Tensoren ausnutzen:

</p>

<ul><li>Der Spannungstensor <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }" loading="lazy"></span> ist aufgrund der <a href="Kontinuumsmechanik#Drehimpulsbilanz" title="Kontinuumsmechanik">Drehimpulsbilanz</a> symmetrisch: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fbc85eb5eaf5c4ac2877d15eb307c5255fb51fbc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:8.707ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji}}" loading="lazy"></span>. Hier wird – wie in den allermeisten Anwendungsfällen – implizit eine (<a href="Quasistatisch" class="mw-redirect" title="Quasistatisch">quasi</a>-)<a href="Statik_(Physik)" class="mw-redirect" title="Statik (Physik)">statische</a> Betrachtungsweise angenommen.</li>

<li>Der Verzerrungstensor <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }" loading="lazy"></span> wird unter der Annahme kleiner Auslenkungen meist als <a href="Verzerrungstensor#Linearisierter_Verzerrungstensor" title="Verzerrungstensor">linearisierter Verzerrungstensor</a> angenommen. In diesem Fall ist er per Definition symmetrisch, d. h. mit den Indizes aus obiger Formel gilt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{kl}=\varepsilon _{lk}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{kl}=\varepsilon _{lk}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a346606835aecf96a14d98f47b5897279a2daf40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.423ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{kl}=\varepsilon _{lk}}" loading="lazy"></span>.</li></ul>

<p>Diese beiden Voraussetzungen ergeben die beiden <i>Nebensymmetrien</i>

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{ijkl}=C_{jikl}\quad }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/061d21a938b931c4405d3b54adfee85232e1a7f2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:14.392ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{ijkl}=C_{jikl}\quad }" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \quad C_{ijkl}=C_{ijlk}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \quad C_{ijkl}=C_{ijlk}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8658596085181a6440c9585cee2374049711dad5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:14.392ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \quad C_{ijkl}=C_{ijlk}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>des Elastizitätstensors. Außerdem ergibt sich daraus, dass die Matrizen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {\overline {\sigma }}}}">

<mover>

</mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {\overline {\sigma }}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ae8adf933e4a952151f7922567301675b7f3ca1c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.561ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\overline {\overline {\sigma }}}}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {\overline {\varepsilon }}}}">

<mover>

</mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {\overline {\varepsilon }}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06bf5b8a9f9ddb5e670bda8112710b604d3e5491.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.313ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\overline {\overline {\varepsilon }}}}" loading="lazy"></span> jeweils nur 6 unabhängige Komponenten haben. Die Anzahl der unabhängigen Komponenten im Elastizitätstensor hat sich dadurch auf 6×6=36 reduziert.

</p><p>Die <i>Hauptsymmetrie</i>

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{ijkl}=C_{klij}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/00e1040a967269c352f64694761babe2d30cdb74.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:12.07ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C_{ijkl}=C_{klij}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>folgt aus der <a href="Hyperelastizit%C3%A4t" title="Hyperelastizität">Hyperelastizität</a>, welche das hier angenommene Hookesche Gesetz als Spezialfall enthält, unter Berücksichtigung des <a href="Satz_von_Schwarz" title="Satz von Schwarz">Satzes von Schwarz</a>. Dadurch reduziert sich die Anzahl der unabhängigen Elastizitätskomponenten auf 21.

</p><p>Mithilfe der <a href="Voigtsche_Notation" title="Voigtsche Notation">Voigtschen Notation</a> werden die Komponenten der Spannungs- und Verzerrungsmatrizen jeweils in einem Spaltenvektor zusammengefasst. Dadurch lässt sich das Hookesche Gesetz in der Kelvin-Voigtschen Notation zu

</p>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

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</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7cc7c9727128ceae4b31214cc95e8cc7b5e63eb9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -9.005ex; width:53.78ex; height:19.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\tau _{23}\\\tau _{13}\\\tau _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{21}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{31}&C_{32}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{41}&C_{42}&C_{43}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{51}&C_{52}&C_{53}&C_{54}&C_{55}&C_{56}\\C_{61}&C_{62}&C_{63}&C_{64}&C_{65}&C_{66}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\gamma _{23}\\\gamma _{13}\\\gamma _{12}\end{bmatrix}}}" loading="lazy"></span>,</dd></dl>

<p>bzw. in der Kelvin-Mandelscher Notation

</p>

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<p>darstellen, wobei in dieser Notation aufgrund der Hauptsymmetrie <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{ij}=C_{ji}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{ij}=C_{ji}}</annotation>

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</p><p>Im Falle eines quadratisch nichtlinearen Materials ergibt sich der Zusammenhang

</p>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{ij}=C_{ij}+C_{ijkl}\varepsilon _{kl}+C_{ijklmn}\varepsilon _{kl}\varepsilon _{mn}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c7ad36dda9f61526aedb9c84d30dce11009efd4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:35.193ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{ij}=C_{ij}+C_{ijkl}\varepsilon _{kl}+C_{ijklmn}\varepsilon _{kl}\varepsilon _{mn}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>zwischen Spannungstensor und Verzerrungstensor.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Auch hier lassen sich obengenannte Symmetrien ausnutzen und die Matrix-Vektor-Notation einführen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Spezielle_Elastizitätsgesetze"><span id="Spezielle_Elastizit.C3.A4tsgesetze"></span>Spezielle Elastizitätsgesetze</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Vollständige_Anisotropie"><span id="Vollst.C3.A4ndige_Anisotropie"></span>Vollständige Anisotropie</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Anisotropie" title="Anisotropie">Anisotropie</a></i></div>

<p>Die vollständige <a href="Trikline_Anisotropie" title="Trikline Anisotropie">(trikline) Anisotropie</a> ist die allgemeinste Form eines Elastizitätsgesetzes. Sie zeichnet sich durch die folgenden Eigenschaften aus:

</p>

<ul><li>keine Symmetrieebenen im Material</li>

<li>21 unabhängige Elastizitätskonstanten beschreiben das Gesetz</li>

<li><a href="Elastizit%C3%A4tsmodul" title="Elastizitätsmodul">Elastizitätsmodul</a> ist richtungsabhängig</li>

<li>alle Kopplungen sind vorhanden</li>

<li>Steifigkeitsmatrix ist voll besetzt</li></ul>

<p>Viele <a href="Faser-Kunststoff-Verbund" title="Faser-Kunststoff-Verbund">Faser-Kunststoff-Verbundwerkstoffe</a> sind anisotrop. Ingenieure versuchen die aus vollständiger Anisotropie resultierenden Effekte zu nutzen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Monokline_Anisotropie">Monokline Anisotropie</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Monokline_Anisotropie" title="Monokline Anisotropie">Monokline Anisotropie</a></i></div>

<p>Die <a href="Monoklines_Kristallsystem" title="Monoklines Kristallsystem">monokline</a> Anisotropie hat für Konstruktionswerkstoffe wenig Bedeutung. Folgende Eigenschaften zeichnen die monokline Anisotropie aus:

</p>

<ul><li>1 Symmetrieebene im Material</li>

<li>13 unabhängige Elastizitätskonstanten beschreiben das Gesetz</li>

<li>Elastizitätsmodul ist richtungsabhängig</li>

<li>Kopplungen vorhanden</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Rhombische_Anisotropie_(Orthotropie)"><span id="Rhombische_Anisotropie_.28Orthotropie.29"></span>Rhombische Anisotropie (Orthotropie)</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Orthotropie" title="Orthotropie">Orthotropie</a></i></div>

<p>Viele Konstruktionswerkstoffe sind <a href="Orthotropie" title="Orthotropie">orthotrop</a>, z. B. technisches <a href="Holz" title="Holz">Holz</a>, <a href="Kreuzverbund" title="Kreuzverbund">Gewebe</a>, viele Faser-Kunststoff-Verbunde, Walzbleche mit Textur usw. Die Orthotropie darf nicht mit der Anisotropie verwechselt werden. Der bloße richtungsabhängige Elastizitätsmodul ist noch kein Hinweis auf die Anisotropie. Die Orthotropie ist ein Sonderfall eines vollständig anisotropen Elastizitätsgesetzes.

Die Orthotropie zeichnet sich durch die folgenden Eigenschaften aus:

</p>

<ul><li>3 Symmetrieebenen im Material</li>

<li>9 unabhängige Elastizitätskonstanten beschreiben das Gesetz</li>

<li>Elastizitätsmodul ist richtungsabhängig</li>

<li><i>keine</i> Dehnungs-Schiebungs-Kopplung vorhanden</li></ul>

<p>Orthotrope Werkstoffe machen also keine Schubverzerrung, wenn sie gedehnt werden. Dies macht sie für den Konstrukteur leicht handhabbar. Daher wird in der Faserverbundtechnik gezielt mit orthotropen Schichten wie dem <a href="Ausgeglichener_Winkelverbund" title="Ausgeglichener Winkelverbund">ausgeglichenen Winkelverbund</a> gearbeitet. <a href="Holzwerkstoff#Vollholzwerkstoffe_und_Furnierwerkstoffe" title="Holzwerkstoff">Schichtholz</a> wird so aufgebaut, dass es orthotrope Eigenschaften besitzt.

</p>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{1}}}&-{\frac {\nu _{21}}{E_{2}}}&-{\frac {\nu _{31}}{E_{3}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{12}}{E_{1}}}&{\frac {1}{E_{2}}}&-{\frac {\nu _{32}}{E_{3}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{13}}{E_{1}}}&-{\frac {\nu _{23}}{E_{2}}}&{\frac {1}{E_{3}}}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {1}{G_{23}}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1}{G_{31}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{G_{12}}}\\\end{bmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/514990147376c36489c6f1a18c3b81904e4d5e0a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -12.505ex; width:48.44ex; height:26.176ex;" alt="{\displaystyle C^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{1}}}&-{\frac {\nu _{21}}{E_{2}}}&-{\frac {\nu _{31}}{E_{3}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{12}}{E_{1}}}&{\frac {1}{E_{2}}}&-{\frac {\nu _{32}}{E_{3}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{13}}{E_{1}}}&-{\frac {\nu _{23}}{E_{2}}}&{\frac {1}{E_{3}}}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {1}{G_{23}}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1}{G_{31}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{G_{12}}}\\\end{bmatrix}}}" loading="lazy"></span></dd>

<dd>Anmerkungen:

<ul><li>Die Matrix <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"></span> und damit auch ihr Inverses sind symmetrisch. Im Allgemeinen nicht symmetrisch sind hingegen die in der Darstellung verwendeten Konstanten <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nu _{ij}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nu _{ij}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1785591d9b4454b98ad0206dd4ff9fcbd465d799.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.626ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \nu _{ij}}" loading="lazy"></span>, für die <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nu _{12}={\frac {E_{1}}{E_{2}}}\nu _{21}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nu _{12}={\frac {E_{1}}{E_{2}}}\nu _{21}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/428210c70b096619ea249bf2a7d6b82e31eaf50a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:12.754ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \nu _{12}={\frac {E_{1}}{E_{2}}}\nu _{21}}" loading="lazy"></span>, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nu _{13}={\frac {E_{1}}{E_{3}}}\nu _{31}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nu _{13}={\frac {E_{1}}{E_{3}}}\nu _{31}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ab0a9744b9de693a4c5db4a3bf7b023ede4bcedd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:12.754ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \nu _{13}={\frac {E_{1}}{E_{3}}}\nu _{31}}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nu _{23}={\frac {E_{2}}{E_{3}}}\nu _{32}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nu _{23}={\frac {E_{2}}{E_{3}}}\nu _{32}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dac85a20eca0e4ebd3922eb045f9b187259acd19.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:12.754ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \nu _{23}={\frac {E_{2}}{E_{3}}}\nu _{32}}" loading="lazy"></span> gilt.</li>

<li>In der obigen Matrix ist folgende Konvention <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nu _{xy}=-{\frac {\varepsilon _{y}}{\varepsilon _{x}}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nu _{xy}=-{\frac {\varepsilon _{y}}{\varepsilon _{x}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e6f8a39e68b8e4d182995f17570d7b09acf68ded.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:11.137ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \nu _{xy}=-{\frac {\varepsilon _{y}}{\varepsilon _{x}}}}" loading="lazy"></span> für die Berechnung der Querkontraktion angewandt,</li></ul></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Transversale_Isotropie">Transversale Isotropie</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Transversale_Isotropie" title="Transversale Isotropie">Transversale Isotropie</a></i></div>

<p>Die transversale Isotropie zeichnet sich dadurch aus, dass das Elastizitätsgesetz um eine Achse gedreht werden kann, ohne dass es sich ändert. Es ist also gegenüber der Drehung invariant. Ein Beispiel für ein transversal isotropes Material ist ein Rundholz oder eine unidirektionale Schicht. Die elastischen Eigenschaften des Rundholzes ändern sich nicht, wenn man es um seine Längsachse dreht. Dennoch besitzt das Holz unterschiedliche Moduln längs und quer zur Faser.

Die transversale Isotropie wird durch die folgenden Eigenschaften charakterisiert:

</p>

<ul><li>3 Symmetrieebenen im Material</li>

<li>5 unabhängige Elastizitätskonstanten beschreiben das Gesetz, eine mögliche Auswahl ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{1}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ac42446bcd2cbb76ec8fe2895635d328da22e26.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.769ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{1}}" loading="lazy"></span>, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e6ee346e54f38302f47b5cf3016d8718f2040c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.769ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{2}}" loading="lazy"></span>, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nu _{12}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nu _{12}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ab7c0d2b2099f20ff6ad6749ead46095036145c6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.025ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \nu _{12}}" loading="lazy"></span>, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nu _{23}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nu _{23}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7dab6f8d1ac502a4c4cebba67b7bf5898966058e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.025ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \nu _{23}}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G_{12}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G_{12}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a6d8ec5be06123a675e868bd77630da764f3a65.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.703ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G_{12}}" loading="lazy"></span><sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nu _{32}=\nu _{23}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f8c7878df6577246b1efaa33bdedd5e06ee69405.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.148ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \nu _{32}=\nu _{23}}" loading="lazy"></span> und die übrigen Größen in der Matrix ergeben sich aus der Beziehung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\nu _{12}}{E_{1}}}={\frac {\nu _{21}}{E_{2}}}}">

<mfrac>

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</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\nu _{12}}{E_{1}}}={\frac {\nu _{21}}{E_{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f1f20440075d9dc92ceba6d737b38cf843f5f43.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:10.82ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\nu _{12}}{E_{1}}}={\frac {\nu _{21}}{E_{2}}}}" loading="lazy"></span>.</li></ul></li>

<li>Elastizitätsmodul ist richtungsabhängig, zwei Moduln sind identisch</li>

<li><i>keine</i> Dehnungs-Schiebungs-Kopplung vorhanden</li></ul>

<p>Die transversale Isotropie ist ein Sonderfall der allgemeinen Orthotropie.

</p>

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</mtable>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{1}}}&-{\frac {\nu _{21}}{E_{2}}}&-{\frac {\nu _{21}}{E_{2}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{12}}{E_{1}}}&{\frac {1}{E_{2}}}&-{\frac {\nu _{32}}{E_{2}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{12}}{E_{1}}}&-{\frac {\nu _{23}}{E_{2}}}&{\frac {1}{E_{2}}}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {2(1+\nu _{23})}{E_{2}}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1}{G_{31}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{G_{21}}}\\\end{bmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/675562d35b9bd0f687dc9f4c21ef7bc4d7c3eff0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -12.671ex; width:52.162ex; height:26.509ex;" alt="{\displaystyle C^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{1}}}&-{\frac {\nu _{21}}{E_{2}}}&-{\frac {\nu _{21}}{E_{2}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{12}}{E_{1}}}&{\frac {1}{E_{2}}}&-{\frac {\nu _{32}}{E_{2}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{12}}{E_{1}}}&-{\frac {\nu _{23}}{E_{2}}}&{\frac {1}{E_{2}}}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {2(1+\nu _{23})}{E_{2}}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1}{G_{31}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{G_{21}}}\\\end{bmatrix}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Isotropie">Isotropie</h3></div>

<p>Das isotrope Gesetz ist das bekannteste und wichtigste Elastizitätsgesetz. Mit ihm können nahezu alle Metalle und unverstärkte Kunststoffe beschrieben werden. Auch kurzfaserverstärkte Kunststoffe können isotrop sein, wenn man die Verstärkungsfasern statistisch verteilt (siehe: <a href="Faser-Matrix-Halbzeug" title="Faser-Matrix-Halbzeug">Faser-Matrix-Halbzeuge</a>). Das isotrope Elastizitätsgesetz zeichnet sich für den Konstrukteur hauptsächlich durch die Invarianz gegenüber der Drehung aus. In einer Konstruktion ist es also unerheblich, wie der isotrope Werkstoff orientiert wird. Gewalzte metallische Bleche können eine schwache Anisotropie aufweisen.

</p>

<ul><li>unendlich viele Symmetrieebenen im Material</li>

<li>2 unabhängige Elastizitätskonstanten beschreiben das Gesetz</li>

<li>Elastizitätsmodul ist <i>nicht</i> richtungsabhängig, zwei Moduln sind identisch</li>

<li><i>keine</i> Schiebungs-Dehnung-Kopplung vorhanden</li></ul>

<dl><dt>Kelvin Voigt-Schreibweise</dt>

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</mrow>

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</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{E}}&-{\frac {\nu }{E}}&-{\frac {\nu }{E}}&0&0&0\\-{\frac {\nu }{E}}&{\frac {1}{E}}&-{\frac {\nu }{E}}&0&0&0\\-{\frac {\nu }{E}}&-{\frac {\nu }{E}}&{\frac {1}{E}}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {2(1+\nu )}{E}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {2(1+\nu )}{E}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {2(1+\nu )}{E}}\\\end{bmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5ee4b98ce9f620c5494b05af784edf7a39a1bc37.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -12.171ex; width:52.121ex; height:25.509ex;" alt="{\displaystyle C^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{E}}&-{\frac {\nu }{E}}&-{\frac {\nu }{E}}&0&0&0\\-{\frac {\nu }{E}}&{\frac {1}{E}}&-{\frac {\nu }{E}}&0&0&0\\-{\frac {\nu }{E}}&-{\frac {\nu }{E}}&{\frac {1}{E}}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {2(1+\nu )}{E}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {2(1+\nu )}{E}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {2(1+\nu )}{E}}\\\end{bmatrix}}}" loading="lazy"></span>; <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C={\begin{bmatrix}\lambda +2G&\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda +2G&\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda &\lambda +2G&0&0&0\\0&0&0&G&0&0\\0&0&0&0&G&0\\0&0&0&0&0&G\\\end{bmatrix}}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C={\begin{bmatrix}\lambda +2G&\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda +2G&\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda &\lambda +2G&0&0&0\\0&0&0&G&0&0\\0&0&0&0&G&0\\0&0&0&0&0&G\\\end{bmatrix}}}</annotation>

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/70cba285c943fef9e7942fff1839d4420370b624.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -9.005ex; width:47.364ex; height:19.176ex;" alt="{\displaystyle C={\begin{bmatrix}\lambda +2G&\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda +2G&\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda &\lambda +2G&0&0&0\\0&0&0&G&0&0\\0&0&0&0&G&0\\0&0&0&0&0&G\\\end{bmatrix}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<dl><dt>Kelvin-Mandelsche Schreibweise</dt>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{E}}&-{\frac {\nu }{E}}&-{\frac {\nu }{E}}&0&0&0\\-{\frac {\nu }{E}}&{\frac {1}{E}}&-{\frac {\nu }{E}}&0&0&0\\-{\frac {\nu }{E}}&-{\frac {\nu }{E}}&{\frac {1}{E}}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {(1+\nu )}{E}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {(1+\nu )}{E}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {(1+\nu )}{E}}\\\end{bmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aacedc7e610ba9f8de33b0af0ff5ceefce1992f1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -12.171ex; width:49.655ex; height:25.509ex;" alt="{\displaystyle C^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{E}}&-{\frac {\nu }{E}}&-{\frac {\nu }{E}}&0&0&0\\-{\frac {\nu }{E}}&{\frac {1}{E}}&-{\frac {\nu }{E}}&0&0&0\\-{\frac {\nu }{E}}&-{\frac {\nu }{E}}&{\frac {1}{E}}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {(1+\nu )}{E}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {(1+\nu )}{E}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {(1+\nu )}{E}}\\\end{bmatrix}}}" loading="lazy"></span>; <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C={\begin{bmatrix}\lambda +2G&\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda +2G&\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda &\lambda +2G&0&0&0\\0&0&0&2G&0&0\\0&0&0&0&2G&0\\0&0&0&0&0&2G\\\end{bmatrix}}}">

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C={\begin{bmatrix}\lambda +2G&\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda +2G&\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda &\lambda +2G&0&0&0\\0&0&0&2G&0&0\\0&0&0&0&2G&0\\0&0&0&0&0&2G\\\end{bmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40c04e1b2f5b6c18bfb496f10184de5a8c84ffdb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -9.005ex; width:50.852ex; height:19.176ex;" alt="{\displaystyle C={\begin{bmatrix}\lambda +2G&\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda +2G&\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda &\lambda +2G&0&0&0\\0&0&0&2G&0&0\\0&0&0&0&2G&0\\0&0&0&0&0&2G\\\end{bmatrix}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Siehe auch: <a href="Lam%C3%A9-Konstanten" title="Lamé-Konstanten">Lamé-Konstanten</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Kopplungen">Kopplungen</h2></div>

<p>Die unterschiedlichen Elastizitätsgesetze zeichnen sich durch ihre Kopplungen aus. Eine Kopplung bezeichnet den Effekt, dass das Material mit einer Verformung außerhalb der Wirkrichtung der Belastung reagiert.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Dehnungs-Querdehnungs-Kopplung">Dehnungs-Querdehnungs-Kopplung</h3></div>

<p>Dies ist die bekannteste Kopplung. Sie wird auch als Querkontraktionskopplung bezeichnet. Die Kopplung bewirkt, dass sich der Werkstoff bei Zug einschnürt, bzw. bei Druck verbreitert. Ingenieure haben gelernt mit der Dehnungskopplung umzugehen und wenden sie gezielt an, z. B. beim Nieten. Praktisch alle Konstruktionswerkstoffe besitzen diese Kopplung.

</p>

<ul><li>verantwortliche Terme: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{1\dots 3{,}1\dots 3},i\neq j}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{1\dots 3{,}1\dots 3},i\neq j}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/925dd70fb37bbc7ecdc61cc166f4e34ac8943516.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:14.952ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a_{1\dots 3{,}1\dots 3},i\neq j}" loading="lazy"></span></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Dehnungs-Schiebungs-Kopplung">Dehnungs-Schiebungs-Kopplung</h3></div>

<p>Besonders bei anisotropen Werkstoffen tritt diese Kopplung auf. Orthotrope Werkstoffe besitzen sie nicht. Die Dehnungs-Schiebungs-Kopplung erzeugt eine <a href="Scherung_(Mechanik)" title="Scherung (Mechanik)">Schiebung</a> bei einer Dehnung des Materials. Umgangssprachlich wird dies auch als Verzug bezeichnet. Mit Hilfe der <a href="Klassische_Laminattheorie" title="Klassische Laminattheorie">klassischen Laminattheorie</a> kann untersucht werden, ob ein Werkstoff eine Dehnungs-Schiebungs-Kopplung besitzt.

</p>

<msub>

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</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{1\dots 3{,}4\dots 6}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3434cb1ed4057013d69b7238d538e6b72504b997.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.059ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a_{1\dots 3{,}4\dots 6}}" loading="lazy"></span> sowie <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{4\dots 6{,}1\dots 3}}">

<msub>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{4\dots 6{,}1\dots 3}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/607b53228aa557448ba5839d1ad752846c580fa4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.059ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a_{4\dots 6{,}1\dots 3}}" loading="lazy"></span></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Schiebungs-Schiebungs-Kopplung">Schiebungs-Schiebungs-Kopplung</h3></div>

<p>Die Schiebungs-Schiebungs-Kopplung tritt nur bei anisotropen Werkstoffen auf. Eine Schiebung in der Ebene erzeugt hier auch eine Schiebung aus der Ebene heraus.

</p>

<msub>

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</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{4\dots 6{,}4\dots 6},i\neq j}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f41824090478531ae8e7b90384b12657fb86ce61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:14.952ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a_{4\dots 6{,}4\dots 6},i\neq j}" loading="lazy"></span></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Tribikram Kundu: <cite style="font-style:italic">Ultrasonic and Electromagnetic NDE for Structure and Material Characterization</cite>. CRC Press, 2012, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>19<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>ff</span>. (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=yhP2FJgn25wC">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Elastizit%C3%A4tstensor&rft.au=Tribikram+Kundu&rft.btitle=Ultrasonic+and+Electromagnetic+NDE+for+Structure+and+Material+Characterization&rft.date=2012&rft.genre=book&rft.pages=19ff.&rft.pub=CRC+Press" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">Helmut Schürmann: <i>Konstruieren mit Faser-Kunststoff-Verbunden.</i> 2. Ausgabe. Springer 2008, ISBN 978-3-540-72189-5, Seite 183.</span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2022-08-23" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Elastizit%C3%A4tstensor&oldid=225571832">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

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